FÓRMULA PARA EL CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

Has visto hasta este momento que en lo que se refiere a la circunferencia hemos utilizado 2 valores: diámetro y No es costumbre utilizar el diámetro, sino el valor del radio.

Mientras no digamos lo contrario, a partir de este momento, usaremos el radio cuando nos refiramos a la circunferencia. Recuerda que el radio es la mitad del diámetro.

La longitud de una circunferencia depende de dos valores, uno de ellos se mantiene invariable, el valor de y el otro valor el del radio.

Cuanto mayor sea el valor del radio, mayor será la longitud de la circunferencia y el otro factor que aparece en todo los cálculos de longitudes de circunferencias y se mantiene siempre con el mismo valor sea grande como pequeña la figura es  La longitud de la circunferencia depende del tamaño del radio. El factor  se mantiene en el cálculo de las longitudes de todaslas circunferencias.

Si representamos por L la longitud de una circunferencia y por r el valor del radio, diremos que:

Sería lo mismo que multiplicar el diámetro ( 2x) por 3,1416 ()

15.127  Calcula la longitud de una rueda cuyo radio mide 3,5 dm. La respuesta debe contener 3 decimales.      

Respuesta: 21,991 dm.

15.128   Una circunferencia tiene una longitud de 124,756 cm. ¿Cuánto vale el radio? (respuesta con 3 decimales).

Respuesta: 19,855 dm.

Solución:

Sustituyo los valores que conozco en la fórmula  y obtengo:  de donde:

15.129  Una  circunferencia cuya longitud vale 123,45 m. ¿cuál es el valor de su diámetro?

Respuesta: 39,295 dm.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

Es necesario que aprendas los elementos de toda circunferencia:

1) centro. El punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

2) radio. Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

3) cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia sin que pase por el centro:

4) sagita: Segmento que une el centro de un arco de circunferencia con el punto medio de la cuerda que le corresponde:

El segmento es la sagita.

5) diámetro: Segmento o cuerda que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia que pase por el centro de la circunferencia.

Todas líneas en rojo son diámetros.

6) ángulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma.

En este caso, el ángulo central vale 59º.

7) arco: Es una parte, una porción, un trozo comprendido entre dos puntos de  la circunferencia:

La curva comprendida entre los puntos A y B de la circunferencia, es la parte o porción de la misma que se llamaarco.

Área del círculo El área del círculo es π por el cuadrado del radio, se escribe así: A = π × r2 O, en términos del diámetro: A = (π/4) × D2 Es fácil acordarse si piensas en el área del cuadrado en el que cabe el círculo.

Circunferencia y círculo

Dibujar una circunferencia o un círculo es fácil: Dibuja una curva que esté a la distancia "radio" de un punto central. Y entonces: Todos los puntos están a la misma distancia del centro. La circunferencia es el borde y el círculo es el interior.

Además, un círculo es una figura plana(bidimensional).

Definición

En realidad la definición de circunferencia es "el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un centro".

Radio y diámetro El radio es la distancia del centro al borde. El diámetro empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro lado. Así que el diámetro es el doble del radio: Diámetro = 2 × Radio
Longitud de la circunferencia La circunferencia es la distancia alrededor del borde del círculo. Mide exactamente Pi (el símbolo es π) por el diámetro, o sea: Circunferencia = π × Diámetro Y estas fórmulas también: Circunferencia = 2 × π × Radio Circunferencia/Diámetro = π

Nombres

Los círculos son objetos conocidos desde hace miles de años así que hay muchos nombres especiales.

Nadie quiere decir "la línea que empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro lado" cuando vale con decir "diámetro".

Aquí tienes los nombres especiales más comunes:

Líneas Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro se llama cuerda. Si la línea pasa por el centro se llama diámetro. Si una línea "sólo toca" la circunferencia al pasar se llamatangente. Y una parte de una circunferencia se llama arco.

Trozos Hay dos tipos importantes de "trozos" de un círculo Un trozo "de pizza" se llama sector. Y un trozo marcado por una cuerda se llama segmento.

Sectores comunes

El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:

	Un cuarto de círculo se llama cuadrante. Medio círculo se llama semicírculo.

Dentro y fuera

Un círculo tiene interior y exterior (¡está claro!). Pero también hay "sobre", porque podrías estar exactamente sobre el círculo. Ejemplo: "A" está fuera del círculo, "B" está dentro del círculo y "C" está sobre el círculo.

Si observas el pentágono que tienes a continuación comprobarás que, además de fijar los valores de los ángulos interiores en color azul, hemos dibujado los valores de los ángulos exteriores en verde:

Puedes comprobar que la suma de un ángulo interior de un polígono con su exterior vale un ÁNGULO LLANO lo que es lo mismo que 180º. Podemos decir también, que  el valor de un ángulo interior de un polígono con el valor de su correspondiente ángulo exterior forman ÁNGULOS ADYACENTES.

La suma de todos los ángulos exteriores  de un polígono es de 360º. En el ejemplo de la figura última 

15.63 Si el ángulo exterior de un polígono vale 70º14’30’’
¿Cuánto vale su correspondiente ángulo interior?

Respuesta: 109º45’30’’

15.64 Si te dicen que el ángulo exterior de un polígono regular vale 36º ¿cuántos lados tiene dicho polígono?

Respuesta: 10 lados

Solución:
Si te dicen que cada ángulo vale 36º y todos valen 360º basta que dividas:

Gráficamente tienes la solución:

Se trata de un decágono regular.15.65 La suma de los ángulos interiores de un polígono regular asciende a 1620º ¿cuántos lados tiene este polígono?Respuesta: 11 lados, endecágono regular Solución:La suma de los ángulos interiores de un polígono regular se obtiene restando dos al número de lados y a esa diferencia la multiplicamos por 180º.
Lo que acabas de leer podemos escribir:

La suma de los áng. int. de un polígono regular = 

Como nos dicen que la suma de los ángulos interiores es de 1620º, escribiremos:

“FÓRMULAS SOBRE TEOREMAS DE POLÍGONOS”.

✿  Teorema No. 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono.

EJEMPLO:

• Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular.

Suma de ángulos interiores    = 180(n-2)

Suma de ángulos interiores      = 180(5-2)

Suma de ángulos interiores      = 180(3)

Suma de ángulos interiores      = 540°.

✿  Teorema No. 2. Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre “n”.

Ángulo interior = 180(n-2)

                               n

EJEMPLO:

• Calcular el ángulo interior de un pentadecágono (15 lados) regular.

Ángulo interior = 180(n-2) = 180(15-2) = 180(13) = 2340 = 156°

                                 n                15             15           15

✿  Teorema No. 3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°.

Ángulo exterior = 360°

                                 n

EJEMPLO:

 • Calcular el ángulo exterior de un triángulo.

Ángulo exterior = 360° = 360° = 120°

                              n          3

✿  Teorema No. 4. El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un polígono es igual al producto de n(n-3) y todo ello dividido entre 2.

# de / = n(n-3)

              2

EJEMPLO:

• Calcular el número de diagonales de un pentágono regular.

# de / = n(n-3) = 5(5-3) = 5(2)= 10 = 5 diagonales.

               2             2          2       2

polígonos convexos

Polígono convexo: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono. Todos los ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo.

Convexo

No convexo (cóncavo)

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS.
Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.

En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular. Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita. Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado. En un polígono regular de n lados: Angulo central =360/n Angulo interior = 180 - 360/n Área = Perímetro x Apotema /2;   A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos  de base L y altura a (L/2)2 + a2 = r2  por ser triangulo rectángulo L/2, r y a

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Clasificación: Por el número de sus lados y por la forma de su contorno.

A.- Por el número de sus lados:

- Triángulo: polígono de tres lados. 

Tipos de triángulos:

Por la longitud de sus lados se puede clasificar:

• Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°)
• Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales
• Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.

Por la medida de sus ángulos:

• Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
• Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
• Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º)

Si quieres profundizar más en el tema consulta el GRUPO TOTEM

- Cuadriláteros: Son los polígonos de cuatro lados

• Convexo: todos sus ángulos internos son menores que 180 grados (todas las puntas hacia afuera)
• Cóncavo: uno de sus ángulos es mayor que 180 grados (no todas las puntas hacia afuera)

Tipos de cuadriláteros

• Cuadrado
• Rectángulo
• Rombo
• Romboide
• Trapecio
• Trapezoide

Clasificación

Los cuadriláteros planos convexos pueden clasificarse por la posición relativa de los lados:

• Los cuadriláteros que tienen paralelos cada dos lados opuestos se denominan paralelogramos.

Los paralelogramos se clasifican según sus ángulos en paralelogramos rectángulos y paralelogramos no rectángulos. Las clases de paralelógramos tienen las siguientes características:

- Paralelogramos rectángulos, cuyos ángulos son todos ángulo rectos: el cuadrado (todos sus lados son iguales), y el rectángulo (iguales los lados opuestos).

- Paralelogramos no rectángulos, cuyos ángulos son dos de ellos agudos, y los otros dos obtusos: el rombo (los cuatro lados iguales), y elromboide (lados opuestos iguales).

• Los cuadriláteros que tienen un sólo par de lados opuestos se llaman trapecios.
• Los cuadriláteros que no tienen ningún par de lados opuestos se llaman trapezoides.

- Pentágonos: Son los polígonos de cinco lados

Propiedades de los pentágonos:

• Todos sus ángulos internos miden 108º. Partiendo del centro, al repartir la circunferencia entre 5 lados, tenemos 72º.
• Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro, quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.
• Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes.
• Se puede trazar empleando, únicamente, regla y compás.

- Hexágono: Son los polígonos de seis lados

El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:

• Todos sus ángulos interiores miden 120º.
• Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:

o Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros. Numérense los vértices de 1 a 6 siguiendo las agujas del reloj. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.

• Se puede empapelar el plano con hexágonos sin dejar ningún hueco.
• Se puede trazar empleando únicamente regla y compás.

- Heptágonos: Son los polígonos de siete lados y siete ángulos.

En un heptágono regular, aquel cuyos lados y ángulos son iguales, los lados se unen formando un ángulo de aproximadamente 128'6 grados.

- Octágonos: Son los polígonos de ocho lados y ocho ángulos.

Un octógono u octágono regular es aquel cuyos lados y ángulos son iguales, los lados se unen formando un ángulo de 135 grados.

- Nonágonos o eneánogos: Son los polígonos de nueve lados y nueve vértices.

Nonágono proviene del latín (nonus, nueve + gonon). Un eneágono regular tiene un ángulo interno de 140°.

- Decágonos: Son los polígonos de diez lados y diez ángulos.

- Endecágonos: Son los polígonos de once lados y once ángulos.

- Dodecágonos: Son los polígonos de doce lados y doce ángulos.

- Pentadecágonos: Son los polígonos de quince lados y quince ángulos.

- Icoságonos: Son los polígonos de veinte lados y veinte ángulos.

B.- Por la forma de su contorno:

- Convexos: Son aquellos polígonos, en los que al atravesarlos una recta lo cortan en un máximo de dos puntos.

- Cóncavos: Son aquellos polígonos, en los que una recta al atravesarlos pueden cortar en más de dos puntos.

- Equiláteros: Son los polígonos que tienen todos sus lados iguales.

- Equiángulos: Son los polígonos que tienen sus ángulos iguales.

- Regulares: Son los polígonos que tienen sus ángulos y sus lados iguales entre sí.

- Irregulares: Son los polígonos que tienen sus ángulos y lados desiguales.

Polígono

Figura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a si misma.

Clasificación de los Polígonos

Los polígonos se clasifican básicamente en:

• polígonos regulares
• polígonos irregulares

Polígono Regular

Polígono en el cual todos sus lados son de igual

Polígono Regular

Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:

• triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
• cuadrado: polígono regular de 4 lados,
• pentágono regular: polígono regular de 5,
• hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
• heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
• octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.

polígono regular

Polígono Irregular

Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan:

• triángulo: polígono de 3 lados,
• cuadrilátero: polígono de 4 lados,
• pentágono: polígono de 5 lados,
• hexágono: polígono de 6 lados,
• heptágono: polígono de 7 lados,
• octágono: polígono de 8 lados,... y así sucesivamente.

poligono irregular

Triángulo

Polígono de tres lados. De acuerdo a la magnitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

• triángulo isósceles: 2 ángulos iguales,
• triángulo escaleno: 3 ángulos diferentes,
• triángulo rectángulo: 1 ángulo recto,
• triángulo obtusángulo: 1 ángulo obtuso,
• triángulo acutángulo: 3 ángulos agudos.

triángulo: polígono de 3 lados

Cuadrilátero

Polígono de 4 lados. Se clasifican en:

• paralelogramo: cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos, se denominan a su vez:
• rectángulo: paralelogramo en el cual los cuatro ángulos son rectos, pero los lados adyacentes no son de igual longitud,
• rombo: paralelogramo que no tiene ángulos rectos, pero sus lados son de igual longitud,
• romboide: paralelogramo que no tiene ángulos rectos y sus lados adyacentes no son de igual longitud,
• trapecio: cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos, se definen a su vez como:
• trapecio rectángulo: trapecio que tiene dos ángulos rectos,
• trapecio isósceles: trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual longitud,
• trapezoide: cuadrilátero que no tiene lados paralelos.

cuadrilátero: polígono de 4 lados